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56.寻找结构三角形解题(李巧春)

  第2期 。中考之窗。 寻找结构三角形解题 李巧春 浙江省宁波市东钱湖中学, 3 1 5 1 2 1 最近几年的数学 中测验卷 中的压轴题 大年夜多是 几何寻找题 , 这 些探 索 题往 往 以构 造 新 图形 作为解题 打破 口. 为 帮 助更 多 同学 控制 有 关 结构法在解 题 中的运 用 特色 , 笔 者 摘 录几 个 试题 赐与剖析 , 说 明结构 法 的具体运 用 , 供 参 考. 一 、结构直 角三 角形 例 1 2 0 0 8年 天 津 市 已 知 R t Z X A B C 中 , c 曰 9 0 。 , C A C B, 有 一个 圆心角为 4 5 。 , 半径 的长等 于 C A的扇 形 C E F绕点 c旋 转 , 且直线 C B , C F辨别 与直线 A B交 于点 , 初 中数学教 与学 V. 1 当扇形 C E F绕点 C在 Z A C B的外部 扭转时 , 如图 1 1 , 求 证 A M2 , v 2 ; 思路点拨 思考 A Mz 契合勾 股定理的形 式 , 需转 化 为在 直 角 三角形 中解 决. 可将 AA C M沿直线 C E 折半 , 得 AD C M, 连 D N, 只需证 D N B N, MD N 9 0 。 就 可 以 了. 2 当扇形 C E F绕点 C 扭转至 图 l 2 的 位置 时 , 关 系式 肘 A M2 曰 , v 2 可否依然成 立 若成立 , 请证 明; 若不成立 , 请说 明理 由. · ●? · ●?· ● ? · ●?· ● ? · ●? · ● ? · ● ? · ●?· ● ? · ●?· ● ? · ●?· ● ? - ●?- ● ? · ●?· ● ? · ●?· ● ? - ●? · ● ? · ●?· ● ? · ●? · ●?· ●?- ● ? · ●? · ●?· ● ? · ●?· ● ? · ●?· ● ? · ●?· ● ? · ●?· ● 解 保持 E D, F D . 。 . 。 AB AC, . 。 . B C. 在 △B E D昶 C D F中 , B C. BE C D , BD CF. . ‘ .△ BED △ CDF. . ’ .DE DF. · . ‘ 点 G是 E F的中点 , . 。 .DG L EF. 例 4 已知在 AA B C中, A D等分 /B A C, C D 上A D, 垂足为 D, 点 G为 B C的中点. 求证 D G f A B . 剖析 本题已知条件中, A D既可以算作 LB A C的角等分 线 , 又 可 以了解 为 C D 的高 , 具有两重身 份 , 因此 图 中存 在一 个 等腰 三 角 形 , 延 长 C D 交 A B 于 点 E, 就 构 造 了 等 腰 △ AEC. 解 延长 C D交 A B于点 E . ‘ . ‘ A D等分 LB A C , C D 上A D, . ‘ . A C LACE. . ’ .AE AC. ’ . ’ A D等分 B A C , .ED CD. ’ . 。 点 G为 B C的中点 , . ’ .D G/ /A B . A B G G 图 4 点评 我们 在解题 时 , 不管 是 已知 条件 中 , 照样所求 后果 中, 确 定一 条线段 具有 两重 身份 , 则图中必然隐蔽了一个等腰三角形 , 我 们应当联合 已知条 件 , 奇妙地 将它找 出来 , 则 后果将迎 刃而解. · 1 3 · 初中数学教 与学 C 20 1 0 C F 2 图 1 剖析 本题十分的特色是 , 题 目曾经告 诉 解题的思 想 方法 通 过 折叠 结构 直 角三 角形 , 然后应用 勾股定 了解答 , 因此 降低 了解 题难度. 本题若没有给 予方法点 拨 , 也 应当从 结论 肘Ⅳ A Ⅳ 2 去思考 , 把相干量转移 到一个三角形中 , 再判 断可否为直角三角形. 证实 1 如 图 1 3 , 将 / X A C M沿直线 C E折半, 得 △JD c , 连 D N, 则 DCM △ ACM. . ‘ .CD CA CB. DM AM . DCM ACM .厶CDM A. 。 . 。 DCN ECF 一 DC M 4 5。一 DC . BcN 厶ACB 一 ECF LACM 9 0。一4 5。一 』 4 C 4 5。一 LACM . . ‘ . CDN △ CBN. . .DN BN. GDN B. . ‘ . DN CDM 4 - C DN L A B 9 0O . . · . , v 2DM 4-DN 2 . 即 N2 A M BN 2 2 关系式 Ⅳ 依然成立. 证实以下 如图 l 4 , 将 Z X A C M沿直线 C E折半 , 得 △G C M, 连 G N, 则 △ GC △ AC . . ‘ .CG C A C B. GM AM . GCM LACM 。 CGM C AM. ’ . ’ GCN GC ECF / _GC 4 5。 . 曰CN ACB 一 AC N 9 0 。~ E C F 一 A C · 1 4 . 4 5。 AC M . . ‘ .△ CGⅣ △ C M . ‘ .GⅣ 曰Ⅳ, CGⅣ LB 45 。, CG L C AM 】 8 0。一 C A曰 l 3 5。 . . ‘ . GN CG 一 CG Ⅳ 1 3 5。一45 。 9 0o . . · . , v 2 G M2G N 2 . 即 Ⅳ , v 2 . c c 聋 F f 4 1 图 1 2 、 结构等边三角形 例 2 2 0 0 6宁波市 重点 中学 提早招 生 把 三根长为 1 厘米 的火柴 和三根 长为 3厘 米 的火柴杆摆放成如 图 2 1 所示 的圆周 上 , 构 成一个六边 形 , 那 么此 六边 形 的 面积是 由三 根 长 l 厘米 的火柴 杆所构 成 的等边 三角形 面 积的几倍 剖析 本题 若把短 的火柴与长的火柴间 隔放置 , 如图 2 2 , 构成一个等边 三角形 与三 个全等的钝 角 三角 形 , 可 以发 现所 构成 的六 边形面积不变 , 然则解题 方法却 奇妙 了很多 , 只需处理 三个钝角三角形 的相干后果 便可. 1 2 图 2 略解 作辅佐线 C H上A F, 交A F的延长 线于点 由圆 内接 四边形 对 角互 补 也可 以用 弧 度了解可知 BEC CF A LADB 1 2 0。. 得 AA B D AB C E / X C A F , 第2期 C W 6 0。 , 又 CF 1, . · .c日 譬 , 朋 ÷ . 由勾股定理得 , AC C A 3 l 3 . ‘ . · .s圳 。 c s i . S & C F {A F x C H 1 x 3 , 3 - . 故六边形面积为 S△ B c3 S△ c l 3 ,3 - . 9 ,3 - 1 1 一 4 4 2‘ 边长为 1 厘 米 的火柴杆所构 成 的等边 三 角 形 面 积 为 孚 . 结论 六边形 面积是边 长为 1 厘米的火柴 杆所 构成 的等边三 角形 面积 的 2 2倍. 3、 结构等腰三角形 例 3 2 0 0 8年北京市 请 浏览以下材 料. 后果 如 图 3 1 , 在 菱 形 A B C D 和菱 形 B E F G中 , 点 A , B, E在 统一 条直线 上 , 点 P是 线段 D F的 中点 , 连 结 P G , P C . 若 A B C Z . B E F 6 0 。 , 探 究 P G 与 P c 的 位 置 关 系 及 篇 p , 1 的值. 小聪同学的思路是 延长 G P交 D C于点 日, 结构全等三 角形 , 经 过 推理 使 后果得 到解 决 , 请你参考小聪 同学 的思路 , 探 究并 处理 下 列 后果 1 写出上 面后果 中线段 P G与 P C的位 置关系及 的值 ; 2 将图 3 1 中的菱形 B E F G绕点 B顺 时针扭转, 使菱形 B E F G的对角线 B F恰好与 菱形 A B C D的边 A B在统一条直线上 , 原后果 中的其他条件不变 如图 3 2 . 你在 1 中 初 中数学教 与学 得 到的两个 结 论 可否 发 生变 化 写 出你 的猜 想并 加以证 明 ; 3 若 图 3 1 中, /_ A B C B E F 2 o t O 。o t 9 0 。 , 将菱形 B E F G绕点 B顺 时 针扭转任意角度 , 原 后果 中的其他 条件不 变 , n,、 请你直接写出 的值 用含 的式子表现 . D c D c 1 2 图 3 剖析 本题考 查师长教师 的寻找能 力 , 需 要 在扭转 中构 造 图形. 题 中首 先提 供 解题 的思 想方法 , 然后作进 一步探 索 , 目标是 让师长教师 在 第 1 问中有所 收获 , 有足够 的 自决计去攻 克 第 2 、 3 问 ; 第 2 问 难度 比第 1 问稍 大年夜 , 因 为 还 需 证 明 AC D H 与 AC B G全 等 , /G C H 1 2 0 。 ; 第 3 问中平行 四边形 的内角 角度爆发变更 , 而且旋 转角 度也发 生变更 , 难 度 较大年夜 , 好 在题 目请求 只写答 案 , 那 么 只是一 个 猜想 后果 , 反 而难度较低. D H c 3 f 4 1 图 3 略解 1 如 图 3 3 , 易证 △ FGP △ DHP, 得 l i p G P , D H G F G B, . ’ .HC GC. ’ 故得 AC G H为等腰三角形, C P为 /G C H 的等分线 , G H边 上的高 , 即 P G上 P C . 又 ’ . ‘/A BC /_BE F 6 0 。 , . 。 ./ GCP 6 0。 . . · . · 】 5 · 初 中数学教 与学 2 o l 0 2 猜想 1 中的结论没 有发 生变 化 , P G j _ 证日 月女 口 下 如 图 3 4 , 延 长 G P交 A D 于点 , 保持 C H , CG . 明显 F P DP . 易证 L X F G P Z X D H P , 可得 G P HP, HD G F BG . 由 /_ A B C/ _ B E F6 0 。 , 且菱形B E F G 的对角线 B F恰好与菱形A B C D的边 A B在同 一 条直线上 , 可得 G B C 6 0 。 , o o/HDC G BC. . ‘ .△ HDC △ G BC. . ‘ .CH CG, DCH BCG. . ‘ . HCG 1 2 00 . ’ . ‘ C H CG, PH PG, . ‘ .PC .上 PC, GCP /HC P 6 0。 , . · . 篙 ,/5 -; 3 PG 9 o 。 一 . 证 明以下 菱形 B E F G在扭转 中会出现二种情况. D p C D C Q E 6 图 3 第 1 种情况如图 3 5 , 连接 G P并延 长使 G P P H, 连接 D H、 C H、 C G , 延长 F G交 C D于 点 Q . 可得 Z X D H P AF G P, 得 D H G F B G D H f G F, .‘Z . ABC BEF. . ’ . BCD BGF 1 8 0。 . 又 Z _ B C q/_ B G F 1 8 0 。 , . ‘ . /_Bc q / _ BC D. 得 c o c G B C . · 1 6 · 釜 又 D H /G F, 得 co c 一 C D H, ..厶 G BC CDH . . ’ .△ CDH Z XCBG. . ’ .CH CG, . ‘ .C P 上 G, 且 /G C P 9 0 。一 , ’ .’/HCG DCB 1 8 0。一2o 1 . . · . 篙_ ta n 9 O 。 . 第二 种 情 形 如 图 3 6 , F G的延 长 线 在 D C的延长线上 , 其它辅 助线作法 同第一种 情 形 , 同理可得 /曰 G Q BC D, 得 LBC QZ _ BG q 1 8 0 。 . 由四边形 内角和 3 6 0 。 知 C BG c qc 1 8 0 。 . 可证 ADH P △FG P, 得 D H G F B G. DH f i G F. . . c q c C D H 1 8 0 。 . . ‘ . G C CDI L 可证 △C DH △C BG, . 。 .CH CG, 可得 C P上HG, 且 G C P 9 0 。一 . ‘ . ‘ HC G DC B 1 8 0。一2 , 得 。 丝t a n 9 0 。一 .P C t “ 9 U 一 ‘ 4 、 结构全等三角形 例 4 2 0 0 8 年黑龙江省齐齐哈尔市 已 知 正方形 A B C D中, /MA N 4 5 。 , /MA N绕 点 A顺时针扭转 , 它的双方辨别交 C B, D C 或 它们的延长线 于点 , 当 /M A N绕点A旋 转 到 B M D N时 如图4 1 , 易证 B MD N MN. 1 当 /_ MA N绕点 A扭转到 B M ≠D N时 如 图4 2 , 线段 B M, D N和 MN之间有如何 的数量关系 写出猜想 , 并加 以证实. 2 当 /MA N绕点A扭转到如图4 3 的 位置时 , 线段 B M, D N和 M N之 间又有 如何 的 数量关系 请 直接写 出你的猜想. 第 2期 E 图 4 D 4 评析 本题 是个 老题 了 , 在解法 上通俗 采取扭转思维 , 结构 三角形 全等 方法解 答 , 具 体地是把 AA N D绕 点 A顺 时针扭转 至 A D与 A B重合 , 再证实AA ME AA M N, 不外问 2 中的 图形 比问 1 中复杂 , 而且结果也分歧. 解 1 B M D N MN成 立. 如图 4 4 , 把 AA N D绕点 4顺 时针方 向 扭转 9 0 。 . 得 AA E B, 则有 AE AN, EB DN, / DAN BAE, 可证得 E, B , 三点共线 , . 。 . EAM / NAM 4 5。 . . ‘ .A AEM aANM . . ‘ .ME MN. ‘ . ‘ ME BE BM DN BM . . ‘ .DⅣ BM MN; 2 D N B M MN. 如图 4 5 . \ t u - .O \ 一 一 5 图 4 初 中数学教 与学 把 AA N D绕点 A顺 时针方 向扭转 9 0 。 , 得 aA E B , 则有 AE AN, EB DN, DAN BAE, 则 /D AN 9 0。一/B A N, / BAM 4 5。一 BAN . M EAN 一 NAM 9 0。一4 5。 4 5。 MAN. . ’ .A MAE a MAN . 得 E M MN, . ‘ .DN EB EM BM . 即 D N MN B M. 综上可见 , 结构法在几何解题 中有特别 的感化. 有些 数学 后果 可 以用 常 规思 路 解答 , 但 有些题 目因为设 计 比拟独 特 , 出现 图形 不 完 整 , 或许缺少 中间关系量 , 这 时可 以思考构 造 新 图形 , 并 通 过新 图 形 的性 质更 简 洁地 解 决 后果. 因为结构法 对师长教师 思维 请求较 高 , 因此 在 中考 中有 很多 题 目都 有 提醒 、 暗示 性 的语 言 , 如例 1 、 例 3提醒结构方 法 ; 也有 的题 目需 要依据常识 特点 去结构 图形 , 如 例 4 , 依据 旋 转特点 在扭转中会出现相干的全等三角形 , 依据这一特 点去 构 造全 等 三角 形 ; 最 难 的是 题 中没有任 何提 示 , 需 要学 生 根 据题 意进 行 剖析 , 探 索结构图形的方法 , 如 例 2 . 为 控制构 造法 , 我们要 强调以下两点 1 增强常识特点引诱. 如见到题中有 中 点 , 就应 该 想到 中线 、 中位线 等 , 见 到扭转 应 想 到全等三 角形 , 见 到线 段 比例应 想 到相 似 三角形 , 切割线定理等, 如例 1中的三线段平 方关 系就应当想 到勾股定理. 2 加 强技 能性 训 练. 能 熟 练运 用 构 造 法 , 关键在于对现有 图形 能作 出剖析 , 一方 面 是经过推理 , 发明 中间缺 少 的逻 辑环节 , 并通 过修补或结构新图形赐与赔偿; 另外一方面, 可 以经过重构 图形 , 让 原本 复杂 的题意简 化 , 把 后果转化为平 时熟 悉 的 、 方法 简 易 的类 型来 处理. · 1 7 · , , 一 , 一 , 一 , 一 , 一 , 一 , 一 , 一 , , 一 , 一 ,一 1 ,

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